No modelo de juros simples, quando duas taxas expressas em diferentes unidades de tempo, aplicadas sobre um mesmo capital, resultarem em iguais valores finais, serão consideradas proporcionais. Vamos a alguns exemplos disso.

No centro de uma capital brasileira, algumas instituições financeiras anunciam empréstimos de até R$10.000,00, em condições “especiais”, para pessoas físicas. A instituição “A” informa ao público que, em apenas duas horas, poderá liberar crédito à taxa de 2,0% a.m. e sua concorrente, a instituição “B”, anuncia crédito semelhante em valor (até R$10.000,00), mas com juros de 24,0% a.a. Com essas informações e a título de exercício, calcule o montante que você deveria pagar por dois empréstimos de R$8.000,00, contratados por 30 meses, nas duas instituições financeiras.

A solução desse desafio deveria cumprir as seguintes etapas:

1. Instituição A

Principal = R$8.000,00

Prazo = 30 meses

Taxa de juros = 2,0% a.m.

Valor de liquidação do empréstimo = ?

○ Valor de liquidação = S = P (1 + in) →S = 8.000,00 (1 + 0,02×30) = 12.800,00

2. Instituição B

Principal = R$8.000,00

Prazo = 30 meses

Taxa de juros = 24,0 % a.a.

Valor de liquidação do empréstimo = ?

Taxa mensal de juros de juros

○ Valor de liquidação = S = P (1 + in) →S = 8.000,00 (1 + (0,24/12) × 30) = 12.800,00

Conclusão: embora as duas instituições estejam oferecendo taxas diferentes, se essas taxas forem aplicadas sobre um mesmo capital, por determinado prazo, no regime de capitalização simples, resultarão em montantes idênticos (R$ 12.800,00). Por conta disso, pode-se afirmar que 2,0 % a.m. e 24 % a.a. são taxas proporcionais.

Agora, percebamos o que pode acontecer em outra simulação, mas dessa vez considerando uma capitalização composta. Acompanhe:

Um estudante recebe proposta de aplicação financeira pelo prazo de 60 dias. Quem o convidou informou a taxa efetiva anual de 12,683%. Na mesma data, o jovem recebe uma segunda proposta: a de fazer aplicação financeira, também por 60 dias, mas à taxa efetiva de 6,152% a.s. (ao semestre). Nos 60 dias de aplicação, para cada um dos casos, qual o valor a resgatar, se a aplicação for R$5.000,00?

1º. Caso

P = 5.000,00

Taxa = 12,683% a.a. (efetiva)

Prazo = 60 dias [como a taxa é expressa em “ano” o prazo da operação, fornecido em dias, deverá ser convertido para ano = 60/360 = 0,166667 ano]

Valor a resgatar (S) = ?

S = P (1+i)ⁿ = 5.000 × (1 + 0,12683)^60/360 = 5.000 X 1,020101 = 5.100,50

2º. Caso

P = 5.000,00

Taxa = 6,152% a.s. (efetiva)

Prazo = 60 dias [como a taxa é expressa em “semestre” o prazo da operação, fornecido em dias, deverá ser convertido para semestre = 60/180 = 0,333333 semestre]

Valor a resgatar (S) = ?

S = P (1+i)ⁿ = 5.000 × (1 + 0,06152)^60/180 = 5.000 X 1,020100 = 5.100,50

Conclusão: em regime de capitalização composta, duas taxas com referências de tempo diferentes (ano e semestre), incidentes sobre um mesmo capital (R$5.000), durante mesmo prazo (60 dias), resultaram em montantes iguais (R$5.100,50). Por que isso aconteceu? Porque as duas taxas 12,683% a.a. e 6,152% a.s. são equivalentes.

Você poderá determinar taxas equivalentes entre si, trabalhando apenas com as taxas, isto é, independentemente de valores monetários sobre os quais elas, as taxas, incidam. São dois os movimentos possíveis aqui:

a) O interessado deseja uma taxa equivalente “à sua”, sendo que a desejada será referente a um período maior.

Exemplo 1. Você precisa determinar a taxa anual, equivalente a 2,0% a.m. Primeiro passo será notar que em um ano há 12 meses, então teremos que fazer uma capitalização da taxa mensal, assim:

Esse procedimento levará à conclusão de que a taxa procurada é 26,8% a.a. Você concorda?

Exemplo 2. Você deseja preencher um contrato com “taxa efetiva semestral” equivalente à taxa bimestral de 2,3%. Qual a taxa com que você preencheria o contrato? Em cada semestre há 3 bimestres, não é assim? Então, você precisará capitalizar a taxa bimestral por três vezes, seguindo o procedimento:

Deve-se chegar a 7,1% a.s. Então, você chegou a esse resultado?

b) O interessado deseja uma taxa equivalente “à sua”, sendo que a desejada será referente a um período menor.

Exemplo 1. O custo efetivo de 20,0% a.a. precisa ser informado, mas por meio de sua taxa equivalente mensal, que é…?

A cada ano, são 12 meses, como sabemos. Então, neste caso, deveria ser feita uma descapitalização de ano para mês. Seria 1,53% a.m., o resultado? Confira.

Exemplo 2. Documentação de financiamento traz a informação de que o custo efetivo total da operação será de 280,0% a.a. Assustado com o número, você decide avaliar o custo efetivo semestral da mesma operação, para poder compará-lo com algumas de suas anotações. Considerando o procedimento a seguir e que cada ano é composto por 2 semestres, 94,9% a.s. seria o resultado correto para essa equivalência?